14. Poruchová teória

Malé zmeny neutrónovo - fyzikálnych charakteristík celého reaktora alebo aj veľké zmeny v malej časti objemu reaktora sa nazývajú poruchami. Poruchy môžu byť spôsobené zavezením do reaktora: paliva, absorbátora alebo látky silne rozptyľujúcej neutróny či ich vybratie z reaktora, zmena teploty, zmena izotopického zloženia a podobne.

Pod poruchou môžeme rozumieť reálne pôsobenie, napr. premiestnenie kazety HRK ako aj fiktívne pôsobenie napr. zmeny kroku mreže pri hľadaní optimálneho usporiadania štiepneho systému.

Aj v tom prípade ak poruchy majú jednoduchý charakter (napr. sú rovnomerne rozmiestnené v objeme reaktore) a ich vplyv na parametre reaktora možno oceniť opakovaním výpočtov, úplne analogických výpočtom reaktora pred poruchová, je jednoduchšie a často aj presnejšie použitie poruchovej teórie.

Ak poruchy veľmi komplikujú výpočtový model (napr. vznikajú ďalšie hranice, ktoré vyvolávajú zmeny hustoty toku neutrónov pozdĺž súradníc, ktoré predtým nebolo potrebné uvažovať pri výpočte), potom použitie poruchovej teórie uľahčí a zjednoduší výpočet.

Poruchová teória je dobre rozpracovaná v matematickej fyzike, je založená na rozložení riešenia rovníc a vlastného čísla do radu podľa parametra poruchy.

Najčastejšie sa v teórii reaktorov používa člen prvého rádu malosti a pod poruchovou teóriou rozumieme prvé priblíženie obecnej teórie.

Pre názornosť rozoberieme niekoľko jednoduchých úloh, ktoré vytvoria predstavu o poruchách, poruchovej teórii a technike jej použitia.

Majme kritický homogénny reaktor bez reflektora. Diferenciálna rovnica popisujúca rozloženie hustoty toku neutrónov v jednoskupinovom priblížení s odpovedajúcou okrajovou podmienkou má tvar

(14.1)

Podmienka na hranici (14.2)

Predpokladajme, že reaktor obsahuje poruchu v podobe malých zmien všetkých parametrov rovnice (14.1) ľubovolne rozložených po celom objeme reaktora, t.j. . Nech sú tieto zmeny nezávislé, tak napríklad pri aj vtedy keď je. V obecnom prípade bude hustota toku neutrónov v reaktore so zmenenými parametrami, funkciou času, t.j. reaktor už nebude v kritickom stave.

Diferenciálna rovnica pre hustotu toku neutrónov v reaktore s poruchou bude mať tvar

(14.3)

Okrajová podmienka sa zachová t.j. . (14.4)

Za nejaký čas od vnesenej poruchy sa zmena hustoty toku neutrónov ustáli na exponenciálnej funkcii závislej od času.

(14.5)

kde T je ustálená perióda reaktora, - časová konštanta. Potom má rovnica (14.3) tvar

(14.6)

Vynásobme teraz rovnicu (14.6) hustotou toku neutrónov , rovnicu (14.1) hodnotou , navzájom ich odčítajme a integrujme po objeme reaktora V vo vnútri R.

(14.7)

(14.8)

odčítajme (14.8) od (14.7) a integrujeme po objeme V:

(14.9)

Ak sú zmeny parametrov a malé, potom možno zanedbať člen , ktorý je druhou mocninou malých zmien. Druhý integrál na pravej strane (9) rozpíšeme a upravíme

(14.10)

Potom bude mať (14.9) tvar

Za účelom transformácie dvoch posledných integrálov v (14.11) použijeme Greenovú vetu.

(14.12)

(14.13)

kde V je objem ohraničený povrchom S,

sú ľubovoľné funkcie, jednoznačné a spojité na V a S,

sú derivácie v smere vonkajšej normály k elementu povrchu dS

Zo vzťahu (14.13) a hraničných podmienok pre vyplýva rovnosť posledného integrálu, na pravej strane (11), nule. Druhý integrál na pravej strane (14.11) upravíme nasledovne

(14.14)

Zo vzťahu (14.12) a hraničných podmienok vyplýva rovnosť nule, integrálu cez povrch hranice reaktora, potom platí:

(14.15)

Použitím (14.16) potom pre (14.14) platí:

(14.17)

Takto má rovnica (14.11) nasledovný tvar

Doteraz malosť porúch bola potrebná len na neveľké zjednodušenie obdržaných výsledkov pri prechode od (14.16) k (14.7). Základný dôsledok predpokladu o malosti porúch je možnosť zámeny vo vzťahu (14.18) funkciou . Práve táto zámena robí poruchovú teóriu najefektívnejšou metódou výpočtu reaktora s meniacimi sa parametrami.

Preto budeme predpokladať, že zmeny D, a sú natoľko malé, že nespôsobujú podstatnú zmenu oproti . Potom, zámenou na v (14.18) obdržíme

(14.19)

(14.20)

Oceníme teraz zmenu efektívneho multiplikačného koeficientu ako dôsledok malých zmien parametrov . Preto si predstavme, že do pôvodne kritického reaktora sme vniesli jedinú poruchu v podobe malej zmeny v celom objeme rovnomerne rozloženej.

Vyberme také aby sme obdržali pôvodnú hodnotu časovej konštanty . Potom zo vzťahu (20) pri a vyplýva:

(14.21)

Ak (21) nasledovne upravíme, obdržíme:

(14.22)

Rovnosť hodnôt efektívneho multiplikačného koeficientu v reaktoroch s poruchami rôzneho druhu, vyplýva z rovnosti časovej konštanty .

S uvážením (14.22), potom (14.20) má tvar

(14.23)

Posledný vzťah možno zapísať aj v inom tvare, pretože

a

Potom platí

(14.24)

Vzťahy (14.20), (14.23) a (14.24) predstavujú základné výsledky použitia poruchovej teórie v jednoskupinovom priblížení.

Niekedy je nevyhnutnosť určiť vzťah medzi súčastne prebiehajúcimi zmenami niekoľkých jadrovo-fyzikálnych charakteristík, počas ktorých zostáva reaktor v kritickom stave. Vzťahy takéhoto druhu možno obdržať pomocou vzťahu (14.20), ak si uvedomíme, že v kritickom stave sa časová konštanta rovná nule.

Nech napr. je potrebné určiť pri akej poruche rovnomerne rozmiestnenej po objeme AZ, reaktor zostane v kritickom stave, ak zmena difúzneho koeficientu spôsobila zmenu parametra D. Zo vzťahu (14.20) obdržíme:

(14.25)

Potom platí:

Je zaujímavé, že ak je rozloženie poruchy rovnomerne rozložené po objeme reaktora obdržíme:

(14.26)

Vzťah (14.26) platný pre rovnomerné rozloženie poruchy po reaktore môžeme získať aj bez použitia poruchovej teórie, nasledovne. Skutočne, geometrický parameter reaktora pred poruchou je rovný materiálovému parametru , t.j.

(14.27)

Preto sa pre kritický reaktor a pre platí:

(14.28)

a pre diferenciál zmeny platí:

(14.29)

Tento príklad názorne ukazuje, že poruchová teória je cenná ako metóda, pomocou ktorej môžeme jednoducho riešiť úlohy s nerovnomerne rozloženými zmenami parametrov po objeme reaktora.

Doteraz sme skúmali reaktor s poruchami parametrov nachádzajúcimi sa v jeho celom objeme. Je zrejmé, že obdržané vzťahy (14.20), (14.23) a (14.24) je možné použiť aj v prípade porušenia parametrov reaktora len určitej ohraničenej časti objemu AZ V₁. Podmienkou použitia uvedených vzťahov je, aby aj v tomto prípade bola porucha efektívneho multiplikačného koeficientu malá a slabo sa menilo aj rozloženie hustoty toku neutrónov v ľubovoľnej oblasti objemu reaktora, t.j.

(14.30)

Posledná podmienka je obzvlášť dôležitá pri riešení úloh so silnými zmenami vlastností rektora vo veľmi malom objeme.

V takýchto prípadoch, použitím poruchovej teórie všeobecnosti nie je možné obdržať presné výsledky ani ak je zmena efektívneho multiplikačného koeficientu malá. Hustota toku neutrónov sa v oblasti poruchy mení podstatne, preto zámena na v tejto oblasti nie je korektná.

Pri splnení podmienok malosti a sú vyššie uvedené úvahy platné, je však navyše potrebné uvážiť aj skutočnosť, že časová konštanta sa líši od nuly v dôsledku zmien vlastností len v oblasti objemu reaktora V₁. V praxi sa stretávame so zmenou jedného z parametrov v niektorých častiach reaktora. Nech napríklad, do oblasti objemu V₁ kritického reaktora zanesieme dodatočný absorbátor s makroskopickým účinným prierezom . Následne sa reaktor dostane do podkritického stavu. Zmenu jeho efektívneho multiplikačného koeficientu je možné jednoducho oceniť pomocou vzťahu (29). Potom pre , platí:

(14.31)

Vo vzťahu (14.31) znamienko mínus znamená, že pri zvýšení absorpcie sa efektívny multiplikačný koeficient zmenší. V matematickom aparáte poruchovej teórie sa pomer (14.32)

(14.32)

nazýva štatistickou váhou diferenciálu objemu dr. Potom štatistická váha objemu V₁ je rovná:

(14.33)

Po zavedení pojmu štatistická váha objemu V₁ môžeme vzťah (14.31) zapísať nasledovne:

(14.34)

Rozoberme ešte ďalší veľmi dôležitý prípad použitia poruchovej teórie. Nech je potrebné určiť efektívny multiplikačný koeficient reaktora s parametrami závislými od súradníc. Výpočty potrebné na určenie zmeny klasickým spôsobom je podstatne názornejší ako analogické výpočty v homogénnom reaktore. Ak je nehomogenita reálneho reaktora malá, potom s pomocou poruchovej teórie je možné nehomogénny nahradiť ekvivalentným homogénnym štiepnym systémom.

Nech napr. riešime reaktor s efektívnym multiplikačným koeficientom závislým od súradníc. Difúzna rovnica kvázi kritického reaktora pre takýto reaktor má tvar:

(14.35)

Nahradíme tento reaktor iným s tými istými parametrami , ale s konštantným (nemenným) multiplikačným koeficientom v celom objeme reaktora tak, aby diferenciálna rovnica difúzie kvázi kritického reaktora mala tvar:

(14.36)

Ako v predchádzajúcom budeme uvažovať, že je splnená podmienka (14.30). Potom, formálne môžeme uvažovať reaktor s nemenným multiplikačným koeficientom , ako reaktor s malou zmenou pôvodný reaktor. Pre kritický reaktor potom platí:

(14.37)

alebo po úprave (14.37):

(14.38)

Takto výpočet efektívneho multiplikačného koeficientu možno robiť pre homogénny reaktor s multiplikačným koeficientom určeným stredovaným so štatistickou váhou diferenciálu objemu dr (14.33).